Problema de Apolonio

ESTUDIO SISTEMÁTICO DE TANGENCIAS.

Designaremos por P , la condición de pasar por un punto, por r la condición de ser tangente a una recta, por c la de ser tangente a una circunferencia.

Problema de apolonio

La solución a este caso la encontramos reduciéndolo al de pcc.

-caso PCC:

En este caso buscamos circunferencias que pasando por un punto sean tangentes a dos dadas.

Resolveremos el caso aplicando inversión, para lo que vamos a tomar como centro el punto dado P, y como potencia de inversión la des este punto con relación a una de las circunferencias dadas, la O.

Ésta se transformará en sí misma, mientras que la O’ se va a transformar en la (O’) cuyo centro hallaremos mediante los dos puntos dobles que tiene en común con O’ y el punto (A’), inverso de A.

Las cuatro posibles soluciones serán las inversas de las cuatro rectas comunes a las dos circunferencias, la O y la(O’), transformada de la O’. los puntos inversos de los de tangencia 1’ y 2’ sobre esas circunferencias serán los puntos 1 y 2 de la circunferencia solución que con el punto P nos la determinan.

También podríamos obtenerla utilizando los puntos P, M y N, siendo estos dos últimos los de intersección, con la circunferencia de auto inversión. Observa una de esas soluciones, correspondiente a una de las tangentes exteriores

Tras reducirlo al caso PCC y resolverlo mediante inversión, hallamos una de las ocho posibles soluciones, que es una circunferencia tangente exterior a las tres circunferencias dadas.

Como se hace en el caso PCC, tomamos como centro de inversión el punto P al que hemos reducido la circunferencia C y como potencia de inversión la de P respecto de la circunferencia C’’r.