Problema de Apolonio

El problema de Apolonio consiste en hallar las circunferencias tangentes a tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia. Fue propuesto (y resuelto) por Apolonio de Perga.

1) Tres puntos:
Si los puntos están alineados, el problema no tiene solución. En cualquier otro caso, éstos forman un triángulo, y el problema se reduce a construir la circunferencia circunscrita.
Sean A, B, C tres puntos no alineados. Basta con trazar las mediatrices de dos pares cualesquiera de puntos. El punto de corte de estas mediatrices es el centro de la circunferencia buscada. Circunferencia circunscrita al triangulo que determinan A, B y C.

2) Tres rectas:
Sean r,s,t las tres rectas. Los posibles casos vienen dados por las posiciones relativas de tres rectas en el plano:
1.- Las tres rectas son secantes dos a dos, esto es determinan un triángulo.
Hay en esta situación 4 circunferencias solución: la circunferencia inscrita y las tres circunferencias exinscritas.
Recordemos que la circunferencia inscrita tiene su centro en la intersección de las bisectrices interiores del triangulo, y cada una de las circunferencias exinscritas tiene el centro en la intersección de las bisectrices exteriores. (perpendiculares a las interiores).

2.- Sea r paralela a s y t que corta a ambas.
La circunferencia tangente a dos rectas secantes tiene su centro en la bisectriz de ambas. La circunferencia tangente a dos paralelas, tiene su centro en la paralela media. Se construye la paralela media m, y las bisectric es u, v.
Las soluciones del problema, son por tanto las circunferencias c1 y c2 que tienen su centro en la intersección de la paralela media con las bisectrices de cada una de las rectas r y s con t.

3.- Si r, s y t son paralelas, no hay ninguna circunferencia tangente a las tres.

3) Dos puntos y una recta:
Dados dos puntos A , B y una recta r , construir la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.
El problema tiene soluciones en función de la posición de A y B respecto a r.
1.- Los puntos A y B están situados en el mismo lado respecto de la recta r. Se traza la circunferencia d1 con centro el punto medio de A y B. Se traza la recta que pasa por A y B, que corta en M a r. Se construye la recta tangente a d1 por M. que corta a r en T. La circunferencia con centro en C que pasa por T determina en r los puntos P y Q, puntos de tangencia. Las circunferencias c1 que pasa por A, B y P, y c2 por A, B y Q son las soluciones del problema.

2.- Si A y B, están uno a cada lado de la recta, es claro que el problema no tiene solución.

4) Dos rectas y un punto:
Se distinguen los siguientes casos, en función de la posición relativa de las dos rectas y la posición del punto respecto a ellas.
1.- Las dos rectas son secantes.
a) El punto no pertenece a las rectas: Se determina el punto A' simétrico de A respecto de la bisectriz de las rectas. El problema se reduce a determinar la circunferencia (s) que pasa por A, A' y es tangente a las dos rectas.

b)El punto está en una de las rectas: Se trazan las bisectrices de las rectas y la recta perpendicular por A a la recta que lo contiene. Las circunferencias solución están en las intersecciones de las rectas trazadas.

2.- Las dos rectas son paralelas.
Es claro que sólo hay solución si el punto está comprendido entre ellas.
Basta con trazar la paralela media y una circunferencia con centro el punto A y de radio la semidistancia entre las rectas dadas. La intersección de esta circunferencia con la paralela media determina los centros de la circunferencia solución.
La solución es inmediata si el punto (B) pertenece a una de las rectas.

5) Dos puntos y una circunferencia:
Se presentan dos situaciones:
1.- Uno de los puntos pertenece a la circunferencia, pudiendo ser el otro interior o exterior.
Sean B (perteneciente a c) y A los puntos y c la circunferencia.
El centro de la circunferencia tangente buscada está en la intersección de la mediatriz de AB con el diámetro ( o su prolongación ) que pasa por B.
A: interior.

A: exterior.

Lógicamente si B pertenece a c, la circunferencia que resuelve el problema es la dada.
2.- Si ninguno de los puntos pertenecen a la circunferencia, sólo hay solución si son ambos interiores o ambos exteriores.
Se traza una circunferencia cualquiera s, que pase por A y B sea secante a la circunferencia dada c.
Sea D el punto de intersección del eje radical de las circunferencias c y s con la recta que contiene a los puntos dados A y B.
Se trazan las tangentes desde M (centro radical) a la circunferencia c. Sean P, Q los puntos de tangencia.
P y Q son también los puntos de tangencia que buscamos. El problema queda reducido ahora a calcular las circunferencias c1 que pasa por ABP y c2 que pasa por ABQ.


6) Dos circunferencias y un punto:
1.- Consideremos en primer lugar el caso en que el punto dado P sea exterior a ambas circunferencias. En ese caso hallamos los centros de homotecia directo H e inverso K. Llamamos A y B a los puntos de corte de las circunferencias con el segmento que une los centros de dichas circunferencias. A continuación, hallamos la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P. El segmento que une el centro de homotecia H con el punto P determina otro punto M sobre la circunferencia ABP. Dos de las circunferencias buscadas (en color morado en la imagen se obtienen hallando las que son tangentes a cualquiera de las dadas y que pasan por los puntos P y M. Las otras dos circunferencias solución (en color rojo) se obtienen repitiendo lo mismo para el centro de homotecia K.

2.- En el caso de que el punto dado P pertenezca a una de las circunferencias se resuelve también a partir de los los centros de homotecia H y K. Desde H trazamos una recta que pase por P, cortando a la otra circunferencia en M, que resulta ser el punto de tangencia de una de las circunferencias buscadas. Para encontrar el centro de esa circunferencia, hallamos la intersección de las rectas que unen los centros de las circunferencias con sus respectivos puntos de tangencia M y P. Para obtener la otra circunferencia, hacemos lo mismo con K, el otro centro de homotecia.

7) Dos rectas y una circunferencia:
1.- Supongamos en primer lugar que la circunferencia está comprendida entre dos rectas. Entonces, a ambos lados de una de las rectas construimos rectas paralelas a una distancia igual a la del radio de la circunferencia dada. Hallamos el simétrico O' del centro O de la circunferencia dada respecto de la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. La recta OO' corta en M a una de las paralelas auxiliares anteriormente trazadas. Calculamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia OO' trazadas desde el punto M. Trazamos un arco con centro M que pase por esos puntos de tangencia y corte a la paralela utilizada en los puntos A y B. Por los puntos A y B levantamos perpendiculares que cortan a la bisectriz en los puntos P y Q, centros de dos de las circunferencias buscadas. Las otras dos circunferencias solución del problema se obtienen repitiendo el procedimiento anterior con la otra paralela.

2.- En el caso de que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, también hay cuatro soluciones, dos de las cuales, las que corresponden a la paralela auxiliar exterior se obtienen como antes. Las otras dos se reducen caso de dos rectas que se cortan, conocido el punto de tangencia de una de ellas (dos rectas y un punto).

8) Dos circunferencias y una recta:
Se resuelve por reducción al caso de un punto (el centro de una de las circunferencias), una recta (una paralela a las dadas) y una circunferencia (una circunferencia concéntrica a la dada). Las circunferencias concéntricas a una de las circunferencias dadas tienen de radio R+r y R-r siendo R y r los radios de las circunferencias dadas y las paralelas a la recta se trazan a distancia r de la recta dada.
Así, cuatro de las ocho circunferencias solución se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R+r. De las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

Las otras cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

9) Un punto, una recta y una circunferencia:
1.- En el caso de que el punto no esté ni en la recta ni en la circunferencia, el problema puede tener cuatro soluciones. En la figura siguiente hemos trazado una perpendicular a la recta dada que pasa por el centro de la circunferencia dada. Esta recta determina el diámetro AB en la circunferencia dada y corta en M a la recta dada. Comenzamos hallando una circunferencia (azul, pequeña) que pasa por B, M y el punto dado P. Unimos A con el punto P y obtenemos el punto Q sobre esa circunferencia. Ahora recurrimos al caso del problema de Apolonio para la recta dada y los puntos P y Q (dos puntos y una recta), y obtenemos dos de las circunferencias buscadas (en color magenta). Las otras dos circunferencias buscadas (en color rojo en la figura), se obtienen intercambiado los papeles de los extremos A y B del diámetro obtenido en la circunferencia dada.

2.- Caso en que el punto dado P esté en la recta dada.
Los centros H y K de las circunferencias buscadas estarán en la perpendicular por el punto P a la recta dada. Para obtenerlos, trazamos un diámetro AB perpendicular a la circunferencia dada. Al unir A y B con P obtenemos los puntos de tangencia M y N, respectivamente. Uniendo M y N con el centro de la circunferencia dada, resultan los puntos H y K.


3.-Caso en que el punto dado P está en la circunferencia dada.
En este caso, los centro H y K de las dos circunferencias solución estarán en la recta que une el centro de la circunferencia dada y el punto de tangencia P. De nuevo, trazamos un diámetro AB y unimos sus extremos con el punto P. De esta forma obtenemos los puntos M y N sobre la recta dada. Sobre esos puntos levantamos perpendiculares a la recta dada que determinarán los puntos H y K sobre la recta que une el punto P y el centro de la circunferencia dada.

10) Tres circunferencias:
Para resolverlo se comienza hallando el centro radical de las tres circunferencias y se determinan los ejes de homotecia de las circunferencias. Para hallar un par de soluciones, se elige uno de estos ejes y se hallan sus polos respecto de las circunferencias dadas. Las rectas que pasan por los polos hallados y por el centro radical determinan los puntos de contacto entre las circunferencias tangentes y las circunferencias dadas.

Como, en general, dadas tres circunferencias, existen cuatro ejes de homotecia, son ocho las soluciones a este problema (cuatro pares de soluciones).

Hay configuraciones de tres circunferencias que sólo admiten dos o ninguna solución.

Hay un total de ocho soluciones, las cuales están ilustradas en la siguiente imagen:

El Teorema de Thales (Les luthiers)

Una forma muy divertida de entender el teorema de Thales, con el ingenio de este grupo Humoristico Argentino.