Geometría al servicio de la arquitectura

No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.

Ejemplos de aplicaciones de la geometría en la arquitectura

1.

Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela.

El paraboloide hiperbólico es una superficie ya conocida por los griegos. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas.

Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos.

En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.
Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva.

Son superficies regladas y existen ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic(2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.

imagen 1:las bóvedas sobre estas lineas son paraboloides hiperbólicos.

Parque güel de Gaudi. Barcelona.

imagen2: foto de la construcción de

L´Oceanografic, Valencia.

arquitectos: Candelas y José María Tomás Llavador.

2

SUPERFICIES MÍNIMAS EN ARQUITECTURA
El siguiente ejemplo de utilización de un determinado tipo de superficie en arquitectura lo podemos encontrar en dos de los edificios del complejo olímpico de Múnich (1972). Tanto la cubierta de las gradas del estadio olímpico como la de la piscina son ejemplos de las nominadas superficies mínimas. Estas superficies, conocidas en geometría desde el siglo XVII, tienen la propiedad de ser, entre todas las que tienen la misma frontera, las que tienen área mínima. La propiedad de minimizar el área es la que aprovechó su arquitecto, el alemán Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economía de material y una forma atrevida.
Las superficies mínimas, aunque permiten más grados de libertad que el uso exclusivo de los paraboloides hiperbólicos, continúan teniendo restricciones. Básicamente estas restricciones aparecen por el hecho de que, dada la frontera, la superficie mínima está totalmente determinada. Por lo tanto, los diseñadores de superficies sólo pueden actuar sobre la frontera y esperar que la superficie mínima resultante presente la forma deseada.