Geometría al servicio de la arquitectura

No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.

Ejemplos de aplicaciones de la geometría en la arquitectura

1.

Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela.

El paraboloide hiperbólico es una superficie ya conocida por los griegos. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas.

Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos.

En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.
Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva.

Son superficies regladas y existen ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic(2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.

imagen 1:las bóvedas sobre estas lineas son paraboloides hiperbólicos.

Parque güel de Gaudi. Barcelona.

imagen2: foto de la construcción de

L´Oceanografic, Valencia.

arquitectos: Candelas y José María Tomás Llavador.

2

SUPERFICIES MÍNIMAS EN ARQUITECTURA
El siguiente ejemplo de utilización de un determinado tipo de superficie en arquitectura lo podemos encontrar en dos de los edificios del complejo olímpico de Múnich (1972). Tanto la cubierta de las gradas del estadio olímpico como la de la piscina son ejemplos de las nominadas superficies mínimas. Estas superficies, conocidas en geometría desde el siglo XVII, tienen la propiedad de ser, entre todas las que tienen la misma frontera, las que tienen área mínima. La propiedad de minimizar el área es la que aprovechó su arquitecto, el alemán Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economía de material y una forma atrevida.
Las superficies mínimas, aunque permiten más grados de libertad que el uso exclusivo de los paraboloides hiperbólicos, continúan teniendo restricciones. Básicamente estas restricciones aparecen por el hecho de que, dada la frontera, la superficie mínima está totalmente determinada. Por lo tanto, los diseñadores de superficies sólo pueden actuar sobre la frontera y esperar que la superficie mínima resultante presente la forma deseada.

Problema de Apolonio

El problema de Apolonio consiste en hallar las circunferencias tangentes a tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia. Fue propuesto (y resuelto) por Apolonio de Perga.

1) Tres puntos:
Si los puntos están alineados, el problema no tiene solución. En cualquier otro caso, éstos forman un triángulo, y el problema se reduce a construir la circunferencia circunscrita.
Sean A, B, C tres puntos no alineados. Basta con trazar las mediatrices de dos pares cualesquiera de puntos. El punto de corte de estas mediatrices es el centro de la circunferencia buscada. Circunferencia circunscrita al triangulo que determinan A, B y C.

2) Tres rectas:
Sean r,s,t las tres rectas. Los posibles casos vienen dados por las posiciones relativas de tres rectas en el plano:
1.- Las tres rectas son secantes dos a dos, esto es determinan un triángulo.
Hay en esta situación 4 circunferencias solución: la circunferencia inscrita y las tres circunferencias exinscritas.
Recordemos que la circunferencia inscrita tiene su centro en la intersección de las bisectrices interiores del triangulo, y cada una de las circunferencias exinscritas tiene el centro en la intersección de las bisectrices exteriores. (perpendiculares a las interiores).

2.- Sea r paralela a s y t que corta a ambas.
La circunferencia tangente a dos rectas secantes tiene su centro en la bisectriz de ambas. La circunferencia tangente a dos paralelas, tiene su centro en la paralela media. Se construye la paralela media m, y las bisectric es u, v.
Las soluciones del problema, son por tanto las circunferencias c1 y c2 que tienen su centro en la intersección de la paralela media con las bisectrices de cada una de las rectas r y s con t.

3.- Si r, s y t son paralelas, no hay ninguna circunferencia tangente a las tres.

3) Dos puntos y una recta:
Dados dos puntos A , B y una recta r , construir la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.
El problema tiene soluciones en función de la posición de A y B respecto a r.
1.- Los puntos A y B están situados en el mismo lado respecto de la recta r. Se traza la circunferencia d1 con centro el punto medio de A y B. Se traza la recta que pasa por A y B, que corta en M a r. Se construye la recta tangente a d1 por M. que corta a r en T. La circunferencia con centro en C que pasa por T determina en r los puntos P y Q, puntos de tangencia. Las circunferencias c1 que pasa por A, B y P, y c2 por A, B y Q son las soluciones del problema.

2.- Si A y B, están uno a cada lado de la recta, es claro que el problema no tiene solución.

4) Dos rectas y un punto:
Se distinguen los siguientes casos, en función de la posición relativa de las dos rectas y la posición del punto respecto a ellas.
1.- Las dos rectas son secantes.
a) El punto no pertenece a las rectas: Se determina el punto A' simétrico de A respecto de la bisectriz de las rectas. El problema se reduce a determinar la circunferencia (s) que pasa por A, A' y es tangente a las dos rectas.

b)El punto está en una de las rectas: Se trazan las bisectrices de las rectas y la recta perpendicular por A a la recta que lo contiene. Las circunferencias solución están en las intersecciones de las rectas trazadas.

2.- Las dos rectas son paralelas.
Es claro que sólo hay solución si el punto está comprendido entre ellas.
Basta con trazar la paralela media y una circunferencia con centro el punto A y de radio la semidistancia entre las rectas dadas. La intersección de esta circunferencia con la paralela media determina los centros de la circunferencia solución.
La solución es inmediata si el punto (B) pertenece a una de las rectas.

5) Dos puntos y una circunferencia:
Se presentan dos situaciones:
1.- Uno de los puntos pertenece a la circunferencia, pudiendo ser el otro interior o exterior.
Sean B (perteneciente a c) y A los puntos y c la circunferencia.
El centro de la circunferencia tangente buscada está en la intersección de la mediatriz de AB con el diámetro ( o su prolongación ) que pasa por B.
A: interior.

A: exterior.

Lógicamente si B pertenece a c, la circunferencia que resuelve el problema es la dada.
2.- Si ninguno de los puntos pertenecen a la circunferencia, sólo hay solución si son ambos interiores o ambos exteriores.
Se traza una circunferencia cualquiera s, que pase por A y B sea secante a la circunferencia dada c.
Sea D el punto de intersección del eje radical de las circunferencias c y s con la recta que contiene a los puntos dados A y B.
Se trazan las tangentes desde M (centro radical) a la circunferencia c. Sean P, Q los puntos de tangencia.
P y Q son también los puntos de tangencia que buscamos. El problema queda reducido ahora a calcular las circunferencias c1 que pasa por ABP y c2 que pasa por ABQ.


6) Dos circunferencias y un punto:
1.- Consideremos en primer lugar el caso en que el punto dado P sea exterior a ambas circunferencias. En ese caso hallamos los centros de homotecia directo H e inverso K. Llamamos A y B a los puntos de corte de las circunferencias con el segmento que une los centros de dichas circunferencias. A continuación, hallamos la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P. El segmento que une el centro de homotecia H con el punto P determina otro punto M sobre la circunferencia ABP. Dos de las circunferencias buscadas (en color morado en la imagen se obtienen hallando las que son tangentes a cualquiera de las dadas y que pasan por los puntos P y M. Las otras dos circunferencias solución (en color rojo) se obtienen repitiendo lo mismo para el centro de homotecia K.

2.- En el caso de que el punto dado P pertenezca a una de las circunferencias se resuelve también a partir de los los centros de homotecia H y K. Desde H trazamos una recta que pase por P, cortando a la otra circunferencia en M, que resulta ser el punto de tangencia de una de las circunferencias buscadas. Para encontrar el centro de esa circunferencia, hallamos la intersección de las rectas que unen los centros de las circunferencias con sus respectivos puntos de tangencia M y P. Para obtener la otra circunferencia, hacemos lo mismo con K, el otro centro de homotecia.

7) Dos rectas y una circunferencia:
1.- Supongamos en primer lugar que la circunferencia está comprendida entre dos rectas. Entonces, a ambos lados de una de las rectas construimos rectas paralelas a una distancia igual a la del radio de la circunferencia dada. Hallamos el simétrico O' del centro O de la circunferencia dada respecto de la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. La recta OO' corta en M a una de las paralelas auxiliares anteriormente trazadas. Calculamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia OO' trazadas desde el punto M. Trazamos un arco con centro M que pase por esos puntos de tangencia y corte a la paralela utilizada en los puntos A y B. Por los puntos A y B levantamos perpendiculares que cortan a la bisectriz en los puntos P y Q, centros de dos de las circunferencias buscadas. Las otras dos circunferencias solución del problema se obtienen repitiendo el procedimiento anterior con la otra paralela.

2.- En el caso de que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, también hay cuatro soluciones, dos de las cuales, las que corresponden a la paralela auxiliar exterior se obtienen como antes. Las otras dos se reducen caso de dos rectas que se cortan, conocido el punto de tangencia de una de ellas (dos rectas y un punto).

8) Dos circunferencias y una recta:
Se resuelve por reducción al caso de un punto (el centro de una de las circunferencias), una recta (una paralela a las dadas) y una circunferencia (una circunferencia concéntrica a la dada). Las circunferencias concéntricas a una de las circunferencias dadas tienen de radio R+r y R-r siendo R y r los radios de las circunferencias dadas y las paralelas a la recta se trazan a distancia r de la recta dada.
Así, cuatro de las ocho circunferencias solución se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R+r. De las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

Las otras cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

9) Un punto, una recta y una circunferencia:
1.- En el caso de que el punto no esté ni en la recta ni en la circunferencia, el problema puede tener cuatro soluciones. En la figura siguiente hemos trazado una perpendicular a la recta dada que pasa por el centro de la circunferencia dada. Esta recta determina el diámetro AB en la circunferencia dada y corta en M a la recta dada. Comenzamos hallando una circunferencia (azul, pequeña) que pasa por B, M y el punto dado P. Unimos A con el punto P y obtenemos el punto Q sobre esa circunferencia. Ahora recurrimos al caso del problema de Apolonio para la recta dada y los puntos P y Q (dos puntos y una recta), y obtenemos dos de las circunferencias buscadas (en color magenta). Las otras dos circunferencias buscadas (en color rojo en la figura), se obtienen intercambiado los papeles de los extremos A y B del diámetro obtenido en la circunferencia dada.

2.- Caso en que el punto dado P esté en la recta dada.
Los centros H y K de las circunferencias buscadas estarán en la perpendicular por el punto P a la recta dada. Para obtenerlos, trazamos un diámetro AB perpendicular a la circunferencia dada. Al unir A y B con P obtenemos los puntos de tangencia M y N, respectivamente. Uniendo M y N con el centro de la circunferencia dada, resultan los puntos H y K.


3.-Caso en que el punto dado P está en la circunferencia dada.
En este caso, los centro H y K de las dos circunferencias solución estarán en la recta que une el centro de la circunferencia dada y el punto de tangencia P. De nuevo, trazamos un diámetro AB y unimos sus extremos con el punto P. De esta forma obtenemos los puntos M y N sobre la recta dada. Sobre esos puntos levantamos perpendiculares a la recta dada que determinarán los puntos H y K sobre la recta que une el punto P y el centro de la circunferencia dada.

10) Tres circunferencias:
Para resolverlo se comienza hallando el centro radical de las tres circunferencias y se determinan los ejes de homotecia de las circunferencias. Para hallar un par de soluciones, se elige uno de estos ejes y se hallan sus polos respecto de las circunferencias dadas. Las rectas que pasan por los polos hallados y por el centro radical determinan los puntos de contacto entre las circunferencias tangentes y las circunferencias dadas.

Como, en general, dadas tres circunferencias, existen cuatro ejes de homotecia, son ocho las soluciones a este problema (cuatro pares de soluciones).

Hay configuraciones de tres circunferencias que sólo admiten dos o ninguna solución.

Hay un total de ocho soluciones, las cuales están ilustradas en la siguiente imagen:

El Teorema de Thales (Les luthiers)

Una forma muy divertida de entender el teorema de Thales, con el ingenio de este grupo Humoristico Argentino.

Para practicar ejercicios de geometría y dibujo técnico os recomiendo un programa que se llama Cinderella y para que lo probeis os dejo un link muy interesante

http://platea.pntic.mec.es/~ablanco/gi/index.htm

Problema de Apolonio

ESTUDIO SISTEMÁTICO DE TANGENCIAS.

Designaremos por P , la condición de pasar por un punto, por r la condición de ser tangente a una recta, por c la de ser tangente a una circunferencia.

Problema de apolonio

La solución a este caso la encontramos reduciéndolo al de pcc.

-caso PCC:

En este caso buscamos circunferencias que pasando por un punto sean tangentes a dos dadas.

Resolveremos el caso aplicando inversión, para lo que vamos a tomar como centro el punto dado P, y como potencia de inversión la des este punto con relación a una de las circunferencias dadas, la O.

Ésta se transformará en sí misma, mientras que la O’ se va a transformar en la (O’) cuyo centro hallaremos mediante los dos puntos dobles que tiene en común con O’ y el punto (A’), inverso de A.

Las cuatro posibles soluciones serán las inversas de las cuatro rectas comunes a las dos circunferencias, la O y la(O’), transformada de la O’. los puntos inversos de los de tangencia 1’ y 2’ sobre esas circunferencias serán los puntos 1 y 2 de la circunferencia solución que con el punto P nos la determinan.

También podríamos obtenerla utilizando los puntos P, M y N, siendo estos dos últimos los de intersección, con la circunferencia de auto inversión. Observa una de esas soluciones, correspondiente a una de las tangentes exteriores

Tras reducirlo al caso PCC y resolverlo mediante inversión, hallamos una de las ocho posibles soluciones, que es una circunferencia tangente exterior a las tres circunferencias dadas.

Como se hace en el caso PCC, tomamos como centro de inversión el punto P al que hemos reducido la circunferencia C y como potencia de inversión la de P respecto de la circunferencia C’’r.

El numero aureo o de oro

Hace unos días escuche hablar del número áureo. y me pareció muy interesante, claro que el año pasado había visto un documental donde lo relacionaban con la belleza del rostro humano.
Pues ahora quiero compartir con los seguidores de Hypatia un vídeo que les explica un poco lo que es el numero áureo.

Espero que les haya gustado, esperamos sus opiniones.

Biografía Apolonio

Apolonio de Perge (c. 262-190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien le dio nombre a algunas figuras geométricas que conocemos como elipse, parábola e hipérbola. También se le otorga la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la luna. Sus extensos trabajos sobre geometría tratan tanto las secciones cónicas, las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló toda su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre del Gran Geómetra.

El mismo propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría ya que en su obra La Colección Matemática, aparecen numerosas referencias a la obra de Apolonio. Sólo dos libros de Apolonio han llegado hasta nuestros días:

· Secciones en una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) donde Apolonio resuelve diversos casos del siguiente problema:

«Dada dos rectas y sendos puntos en ellas, trazar por un tercer punto otra recta que corte a las anteriores en segmentos, que medidos sobre ellas desde los respectivos puntos dados, estén en una razón dada». Este problema es equivalente a resolver la ecuación ax - x2 = bc.

· Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra más importante de Apolonio, es más, junto con los Elementos de Euclides y los grandes tratados de Arquímedes es uno de los libros más importantes de matemáticas.

Las cónicas, está formado por 8 volúmenes, del que solo se conservan 7:

· El primer volumen trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.

· El segundo volumen trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.

· El tercer volumen, trata del estudio de las propiedades de triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes.

· El cuarto volumen trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.

· El quinto volumen estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.

· El sexto volumen trata sobre cónicas semejante.

· El séptimo volumen trata sobre los diámetros conjugados.

· El octavo volumen se ha perdido o destruido, se cree que era un apéndice.

Archimedis opera; Apollonii Pergaei conicorum libri IIII; Theodosii Sphaerica. Edición de I.Barrow de Las Cónicas de Apolonio (Londres, 1675). Contiene también obras de Arquímedes y de Teodosio.

Las ilustraciones con la portada y las figuras de Apolonio proceden de la Biblioteca del Real Instituto y Observatorio de la Armada de San Fernando (Cádiz).